Implied Stochastic Volatility Models

作为交易最为活跃的金融衍生产品之一，期权在美国和欧洲市场已经得到了充分的发展，我国也从2015年之后开始逐步放开了对期权的交易。最早、应用最为广泛的期权定价理论始于Black and Scholes (1976)和Merton (1976)。随着市场交易不断地深化，人们不断发现传统的几何布朗运动模型无法捕捉更多精细的市场特征，比如资产的随机波动率和跳跃。

在模型中加入随机波动率因子和跳跃后，虽然模型的结构得到了丰富，但是模型的可解性大幅降低，这也直接导致人们无法直接将模型的结构和期权的隐含波动率曲面一一对应，进而无法读取隐含波动率曲面中的市场信息。如何显式地将随机波动率模型同隐含波动率曲面联系起来，并利用这一显式关系进行模型估计成为了一个亟待解决的问题。

中国人民大学商学院财务与金融系李晨煦老师及其合作者在The Review of Financial Studies上发表的“Implied Stochastic Volatility Models”一文，通过基于Malliavin calculus的渐近展开方法得到了随机波动率模型中系数函数（drift function，stochastic volatility function和jumps）同隐含波动率曲面的几何特征（如level，slope和convexity等）之间的显式关系。从定性的角度看，不需要任何数值计算和模拟，仅凭该显式表达式便可以直接分析出模型结构和隐含波动率曲面形状之间的对应关系。从定量角度看，把隐含波动率曲面的几何特征作为输入，可以通过广义矩估计（GMM）来估计传统的参数随机波动率模型，或者通过非参数回归（Nonparametric regression）来反解模型系数函数，构造全新的非参数随机波动率模型。这两种通过隐含波动率反解或估计出的随机波动率模型被统称为“隐含随机波动率模型”。

作为实证研究，该文对2007年至2011年（金融危机中）和2012年至2017年（金融危机后）的标准普尔500指数期权分别构建非参数隐含波动率模型，模型显示无论是金融危机中，还是金融危机后，都有随机杠杆效应的存在，且随着标准普尔500指数波动率的增大，杠杆效应逐渐增强。但不同时期中，杠杆效应对波动率变化的敏感度有显著差异：在金融危机中，只有当波动率大于50%时，才会显示出较强的杠杆效应，但金融危机后，即使在一个较低的波动率水平，如20%，杠杆效应也同样突出。

Yacine Aït-Sahalia, Chenxu Li, Chen Xu Li, Implied Stochastic Volatility Models, forthcoming in The Review of Financial Studies, https://doi.org/10.1093/rfs/hhaa041.